Rumus cosinus jumlah dan selisih sudut

 

 Rumus Jumlah Sudut Cosinus

 

Rumus Jumlah Dua Sudut Cos
 
Bukti:
Perhatikan gambar berikut!


 



Titik koordinat A dan B di atas diperoleh berdasarkan fungsi sinus dan cosinus. Selanjutnya perhatikan titik M yang ditransformasi dengan besar sudut putar \beta dan sudut pusat O dari titik A. Dan perhatikan titik N yang ditransformasi dengan besar sudut putar - \beta dan sudut pusat O dari titik P. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di bawah.
 

 
 
INGAT!!!

  \[ cos (-\alpha) = cos \alpha \]

  \[ sin (-\alpha) = - sin \alpha \]

 
Persamaan 1: Menghitung jarak P(1,0) ke M (cos ( \alpha + \beta), sin ( \alpha + \beta))

  \[ \left| PM \right| = \sqrt{\left( x_{P} - x_{M} \right)^{2} + \left( y_{P} - y_{M} \right)^{2}}\]

  \[ \left| PM \right| = \sqrt{\left( 1 - cos \left( \alpha + \beta \right) \right)^{2} + \left( 0 - sin \left( \alpha + \beta \right) \right)^{2}}\]

  \[ \left| PM \right| = \sqrt{1 - 2cos \left( \alpha + \beta \right) + cos^{2} \left( \alpha + \beta \right) + sin^{2} \left( \alpha + \beta \right)}\]

  \[ \left| PM \right| = \sqrt{1 - 2cos \left( \alpha + \beta \right) + 1}\]

  \[ \left| PM \right| = \sqrt{2 - 2cos \left( \alpha + \beta \right)}\]

 
Persamaan 2: Menghitung jarak A (cos \alpha, sin \alpha) ke N (cos \beta, -sin \beta)

  \[ \left| AN \right| = \sqrt{\left( x_{A} - x_{N} \right)^{2} + \left( y_{A} - y_{N} \right)^{2}}\]

  \[ \left| AN \right| = \sqrt{\left( cos \alpha - cos \beta \right)^{2} + \left( sin \alpha - (-sin \beta) \right)^{2}} \]

  \[ \left| AN \right| = \sqrt{\left( cos \alpha - cos \beta \right)^{2} + \left( sin \alpha + sin \beta \right)^{2}} \]

  \[ \left| AN \right| = \sqrt{cos^{2} \alpha - 2cos \alpha cos \beta + cos^{2} \beta + sin^{2} \alpha + 2sin \alpha sin \beta + sin^{2} \beta} \]

  \[ \left| AN \right| = \sqrt{cos^{2} \alpha + sin^{2} \alpha + cos^{2} \beta + sin^{2} \beta} + - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta \]

  \[ \left| AN \right| = \sqrt{1 + 1 - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta} \]

  \[ \left| AN \right| = \sqrt{2 - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta} \]

 
Secara geometri, persamaan 1 sama dengan persamaan 2, sehingga:

  \[ \left| PM \right| = \left| AN \right|\]

  \[ \sqrt{2 - 2cos \left( \alpha + \beta \right)} = \sqrt{2 - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta} \]

  \[ 2 - 2cos \left( \alpha + \beta \right) = 2 - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta \]

  \[ - 2cos \left( \alpha + \beta \right) = - 2cos \alpha cos \beta + 2sin \alpha sin \beta \]

  \[ cos \left( \alpha + \beta \right) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta \]

Terbukti

 
 
Contoh Soal Penggunaan Rumus Jumlah Sudut Cosinus
Tentukan nilai cos 75^{o}!
Pembahasan:

  \[ cos \; 75^{o} = cos \left( 45^{o} + 30^{o} \right) \]

  \[ cos \; 75^{o} = cos \; 45^{o} \cdot cos \; 30^{o} - sin \; 45^{o} \cdot sin \; 30^{o} \]

  \[ cos \; 75^{o} = \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \]

  \[ cos \; 75^{o} = \frac{1}{4} \sqrt{6} - \frac{1}{4} \sqrt{2} \]

  \[ cos \; 75^{o} = \frac{1}{4} \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right) \]

 
Rumus Selisih Sudut Dua Cosinus
 
Rumus Selisih Dua Sudut Cos

 
Pembuktian rumus di atas dapat diperoleh dengan memanfaatkan rumus jumlah sudut cosinus yang telah kita buktikan terlebih dahulu. Caranya adalah dengan mengubah sudut \beta menjadi sudut - \beta. Untuk lebih jelasnya lihat langkah pembuktian di bawah.
 
Bukti:

  \[ cos \left( \alpha - \beta \right) = cos \left( \alpha + (- \beta) \right) \]

  \[ cos \left( \alpha - \beta \right) = cos \alpha \cdot cos (- \beta) - sin \alpha \cdot sin (- \beta) \]

  \[ cos \left( \alpha - \beta \right) = cos \alpha \cdot cos \beta - sin \alpha \cdot -sin \beta \]

  \[ cos \left( \alpha - \beta \right) = cos \alpha \; cos \beta + sin \alpha \; sin \beta \]

 
Contoh Soal Penggunaan Rumus Selisih Dua Sudut Cosinus
Tentukan nilai cos 75^{o}!
Pembahasan:

  \[ cos \; 105^{o} = cos \left( 135^{o} - 30^{o} \right) \]

  \[ cos \; 105^{o} = cos \; 135^{o} \cdot cos \; 30^{o} - sin \; 135^{o} \cdot sin \; 30^{o} \]

  \[ cos \; 105^{o} = -\frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} - \frac{1}{2} \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \]

  \[ cos \; 105^{o} = -\frac{1}{4} \sqrt{6} - \frac{1}{4} \sqrt{2} \]

  \[ cos \; 105^{o} = -\frac{1}{4} \left( \sqrt{6} - \sqrt{2} \right) \]

Komentar

Posting Komentar