Rangkuman
A. PENGERTIAN TRIGONOMETRI
Trigonometri adalah bagian dari ilmu matematika yang mempelajari tentang hubungan antara sisi dan sudut suatu segitiga serta fungsi dasar yang muncul dari relasi tersebut. Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku.
FUNGSI TRIGONOMTRI
fungsi trigonometri merupakan suatu proses matematis untuk menemukan turunan suatu fungsi trigonometri atau tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya. Fungsi trigonometri yang umum digunakan adalah sin(x), cos(x) dan tan(x).
contohnya :
Turunan “f(x) = sin(x)” dituliskan “f (a) = cos(a)”. “f (a)” adalah tingkat perubahan sin(x) di titik “a”.
*CONTOH SOAL*
Jika sin x 0 = sin 5 o
sin x 0 = sin 250
maka hasilnya adalah dibawah ini :
x = 250 + k.360 atau x = (180 0 ? 25 0 ) + k.360 0
maka diperoleh = 155 0 + k.360 0
bisa Kunci, x = 25 0 + k.360 0 atau 155 0 + k.360 0
dan, sin x0 = sin500
maka hasilnya sementara:
x = 50 0 + k.360 0 atau x = (180 0 ? 50 0 ) + k.360 0
= 130 0 + k.360 0
Jadi hasilnya adalah x = 50 0 + k.360 0 atau 130 0 + k.360 0
Rumus Sudut Rangkap
Rumus sudut rangkap dapat digunakan mencari nilai besar pada sudut trigonometri di luar sudut istimewa. Contohnya, diketahui bahwa sudut 60° adalah merupakan sudut istimewa hingga dengan mudah bisa diketahui nilainya. Bagaimanakah kalian bisamengetahui nilai sudut 120° ? Di mana kita mengetahui bahwa sudut 120°bukan sudut istimewa.?
Di sinilah fungsi rumus trigonometri sudut rangkap. Nilai 120° adalah hasil dari 2 x 60°. Sudut 120° memang bukan dari sudut istiewa, namun sudut 60° adalah sudut istimewa. Dengan memanfaatkan rumus trigonometri, besar nilai sudut 120° bsa diketahui tanpa memakai alat bantu hitung.
Rumus Sudut Rangkap Fungsi Sinus
Rumus sudut rangkap sinus dinyatakan padrumus berikut.
sin 2 α = 2sinα cosα
Bukti :
sin2α = sin (α+α)
sin2α = sinα cosα = cosα sinα
sin2α = sinα cosα + sinα cosα
sin2α = 2sinα cosα
Terbukti
Contoh Soal pemakaian Sudut Rangkap Sinus
Jika sinα = 3/5 dan α adalah sudut lancip, tentukan nilai sin2α
Pembahasan:
sinα = 3/5
cosα = 4/5
Sehingga,
sin 2α = 2. sinα cosα
sin 2α = 2 . 3/5 . 4/5
sin 2α = 6/25
B. Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
2. Untuk memahami rumus cosinus perhatikan gambar di bawah. Dari lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari 1 satuan :
Dengan mengingat kembali tentang koordinat Cartesius, maka:
a. koordinat titik A (1, 0)
b. koordinat titik B (cos A, sin A)
c. koordinat titik C {cos (A + B), sin (A + B)}
d. koordinat titik D {cos (–B), sin (–B)} atau (cos B, –sin B)
AC = BD maka AC2 + DB2
{cos (A + B) – 1}2 + {sin (A + B) – 0}2 = {cos B – cos A}2 + {–sin B – sin A}2
cos2 (A + B) – 2 cos (A + B) + 1 + sin2 (A + B) = cos2 B – 2 cos B cos A + cos2 A +
sin2 B + 2 sin B sin A + sin2 A
2 – 2 cos (A + B) = 2 – 2 cos A cos B + 2 sin A sin B
2 cos (A + B) = 2 (cos A cos B – sin A sin B)
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Rumus cosinus jumlah dua sudut
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
Dengan cara yang sama, maka:
cos (A – B) = cos (A + (–B))
cos (A – B) = cos A cos (–B) – sin A sin (–B)
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Rumus cosinus selisih dua sudut
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Untuk lebih memahami aplikasi dari rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut, silahkan anda pelajari contoh soal berikut.
Contoh soal rumus cosinus
Diketahui cos A = 5/13 dan sin B = 24/25 , sudut A dan B lancip. Hitunglah cos (A + B) dan
cos (A – B).
Penyelesaian:
cos A = 5/13 , maka sin A = 12/13
sin B = 24/25 , maka cos B = 7/25
cos (A + B) = cos A⋅ cos B – sin A⋅ sin B
= 5/13 ⋅ 7/25 – 12/13 ⋅ 24/25
= 35/325 − 288/325
= − 253/325
cos (A – B) = cos A⋅ cos B + sin A⋅ sin B
= 5/13 ⋅ 7/25 + 12/13 ⋅ 24/25
= 35/325 + 288/325
= 323/325
2. Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
3. Perhatikan uraian berikut:
4. sin (A – B) = sin {A + (–B)}
5. = sin A cos (–B) + cos A sin (–B)
6. = sin A cos B – cos A sin B
7. Rumus sinus selisih dua sudut
8. sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
Untuk lebih memahami tentang aplikasi rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut silahkan perhatikan contoh soal berikut ini
Contoh soal rumus sinus:
Diketahui cos A = – 4/5 dan sin B = 5/13 , sudut A dan B tumpul. Hitunglah sin (A + B) dan
sin (A – B).
Penyelesaian:
cos A = – 4/5 , maka sin A = 3/5 (kuadran II)
sin B = 5/13 , maka cos B = – 12/13 (kuadran II)
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
= 3/5 . (–12/13) + (–4/5) . 5/13
= –36/65 – 20/65
= – 56/65
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
= 3/5 . (–12/13) – (–4/5) . 5/13
= –36/65 + 20/65
= – 16/65
3. Rumus Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
4. Rumus tangen jumlah dua sudut:
5. tan(A+B)=\frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}
tan(A-B)=\frac{tan A - tan B}{1 + tan A tan B}
Silahkan anda pelajari contoh soal berikut agar anda lebih paham penggunaan rumus tangen jumlah
dan selisih dua sudut.
Contoh soal rumus tangen:
Tanpa menggunakan tabel logaritma atau kalkulator, hitunglah tan 105°.
Penyelesaian:
tan 105° = tan (60 + 45)°
= tan 60° tan 45°
1 tan60 tan45
C.Rumus Sudut Rangkap Fungsi Cosinus
Terdapat tiga rumus yang bisa dipakai untuk menentukan nilai suatu sudut rangkap cosinus. Ketiga rumus itu adalah
Cos 2α = cos2α – sin2α
cos 2α = 1 -2 sin2α
cos 2α = 2 sin2α – 1
Bukti :
Cos 2α = cos ( α+α )
cos 2α = cosα cosα – sinα sinα
cos 2α = cos2α – cos2α
Sebelum membuktikan kedua rumus lainnya, ingat bahwa rumus identitas trigonometri sin2α + cos2α = 1.
Cos 2α = cos2α – sin2α
cos 2α = (1-sin2α) – sin2α
cos 2α = 1 – sin2α – sin2α
cos 2α = 1 – 2sin2α
cos 2α = cos2α – sin2α
cos 2α = cos2α – (1 – cos2α)
cos 2α = cos2α – 1 + cos2α
cocs 2α = cos2α + cos2α – 1
cos 2α = 2cos2α – 1
Rumus Sudut Rangkap Fungsi Tangen
Rumus sudut rangkap sinus dinyatakan dalam rumus berikut.
tan2α = 2tanα / 1-tan2α
Bukti :
tan2α = tan (α + α)
tan2α = tanα + tanα / 1- tanα tanα
tan2α = 2tanα / 1-tan2α
Contoh Soal dan Pembahasannya :
Soal :
Jika cos 2x = 1/2 dan x ialah sudut lancip maka tan x = ....
A. 1/2
B. 1/2 √2
C. 1/2 √3
D. 1/3
E. 1/3 √2
Pembahasan
Hitung terpenting dahulu sin x
cos 2x = 1 - 2 sin2 x
2 sin2 x = 1 - cos 2x = 1 - 1/2 = 1/2
sin2 x = 1/4
sin x = 1/2
sin x = depan / miring = 1/2
tan x = samping / miring
samping = √(22 - 12) = √3
Makara tan x = √3/2 = 1/2 √3
Jawaban: C
D.Perkalian Sinus dan Kosinus
Sebelumnya bacalah terlebih dahulu mengenai Trigonometri untuk mempelajari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, yaitu:
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Sekarang, Anda akan mempelajari perkalian sinus dan kosinus. Untuk itu, pelajari uraian berikut.
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)
Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akan memperoleh
cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β
Jadi, perkalian cosinus dan cosinus adalah :
perkalian cosinus dan cosinus
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4)
Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperoleh :
cos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β
Jadi, perkalian sinus dan sinus adalah :
perkalian sinus dan sinus
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)
Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh :
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β
Jadi, perkalian sinus dan cosinus adalah :
perkalian sinus dan cosinus
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8)
Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh
sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β
Jadi, perkalian sinus dan cosinus :
perkalian sinus dan cosinus
Contoh Soal 1
Bentuk sederhana 4 sin 36° cos 72° sin 108° adalah ....
Penyelesaian
= 4 sin 36° cos 72°sin 108°
= 2 sin 36° [2 sin 108° cos 72°]
= 2 sin 36° [sin(108 + 72)° + sin (108 – 72)°]
= 2 sin 36°[0 + sin 36°]
= 2 sin2 36° = 1 – cos 2(36°)
= 1 – cos 72°
Komentar
Posting Komentar